Question

（10分）已知函數(shù)，且 
（1）判斷的奇偶性，并證明；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若，求的取值范圍。

Answer 1

(1) 為奇函數(shù)， 證：見解析；
（2）在上的單調(diào)遞增，證明：見解析。（3） .

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，證明函數(shù)的單調(diào)性按照取值、作差、變形定號，下結(jié)論的步驟進(jìn)行．
（1）函數(shù)為奇函數(shù)．確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論；
（2）按照取值、作差、變形定號，下結(jié)論的步驟進(jìn)行證明，作差后要因式分解．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到不等式的解集。
解 ∵ ，且
∴ ，解得
(1) 為奇函數(shù)，
證：∵ ，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234943981718.png" style="vertical-align:middle;" />，關(guān)于原點(diǎn)對稱…
又
所以為奇函數(shù)
（2）在上的單調(diào)遞增
證明：設(shè)，
則
∵
∴  ，
故，即，在上的單調(diào)遞增

又，即，所以可知
又由的對稱性可知 時(shí)，同樣成立 ∴