Question

已知函數(shù)f（x）=-2sin²x-2mcosx+1-2m（m∈R）的最小值為h（m）．
（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象總經(jīng)過定點(diǎn)；
（2）若h（m）=

1

2

，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意得到f（x）=-2sin²x+1-2m（cosx+1），再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，求得x=（2k+1）π，問題得以解決．
（2）由題意得f（x）=2cos²x-2mcosx-2m-1，令令t=cosx，則y=（t-

1

2

m）²-

1

2

m²-2m-1，進(jìn)行分類討論，求得m的值．

解答： 解：（1）f（x）=-2sin²x-2mcosx+1-2m=1=-2sin²x+1-2m（cosx+1）
當(dāng)cosx=-1時(shí)，即x=（2k+1）π時(shí)，有sinx=0，此時(shí)f（x）=1
所以函數(shù)過定點(diǎn)（2kπ+π，0）
令1+cosx=0，得x=（2k+1）π，又f（（2k+1）π）=1，
所以 不論m為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象總經(jīng)過定點(diǎn)（（2k+1）π，1）k∈z
（2）由f（x）=-2sin²x-2mcosx+1-2m=1=2cos²x-2mcosx-2m-1，
令t=cosx，則y=2t²-2mt-2m-1=2（t-

1

2

m）²-

1

2

m²-2m-1，t∈[-1，1]，
①若

1

2

m＜-1，即m＜-2，則當(dāng)t=-1時(shí)，h（m）=1，不合題意．
②若-1≤

1

2

m≤1，即-2≤m≤2，則當(dāng)t=

1

2

m時(shí)，h（m）=-

1

2

m²-2m-1，
得m=-1或m=-3（舍去），所以m=-1，
③若

1

2

m＞1，即m＞2，則當(dāng)t=1時(shí)，h（m）=1-4m=

1

2

，得m=

1

8

（舍去），
綜上可得，m的值為1．

點(diǎn)評：本題主要考查三角形函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)過定點(diǎn)的問題，以及分類討論的思想，屬于中檔題．