Question

已知函數(shù)f(x)=px-

p

x

-2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）設函數(shù)g(x)=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出函數(shù)在x=1處的值，求出導函數(shù)，求出導函數(shù)在x=1處的值即切線的斜率，利用點斜式求出切線的方程．
（II）求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)大于等于0恒成立，構造函數(shù)，求出二次函數(shù)的對稱軸，求出二次函數(shù)的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范圍．
（III）通過g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，通過對p的討論，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范圍．

解答：解：（I）當p=2時，函數(shù)f(x)=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1）
即y=2x-2．
（II）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．
令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需h（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立．
由題意p＞0，h（x）=px²-2x+p的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為x=

1

p

∈(0，+∞)，
∴h(x)min=p-

1

p

，只需p-

1

p

≥0，
即p≥1時，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，正實數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）．
（III）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時，g（x）_min=2；x=1時，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
當p＜0時，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸x=

1

p

在y軸的左側，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)．
當p=0時，h（x）=-2x，因為x∈[1，e]，所以h（x）＜0，
f′(x)=-

2x

x2

＜0，此時，f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)．
∴當p≤0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減?f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意；
當0＜p＜1時，由x∈[1，e]?x-

1

x

≥0，所以f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx≤x-

1

x

-2lnx．
又由（2）知當p=1時，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2，不合題意；
當p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，而f(x)max=f(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g（x）_min=2，即p(e-

1

e

)-2lne＞2，解得p＞

4e

e2-1

綜上所述，實數(shù)p的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點評：解決曲線的切線問題，常利用導數(shù)在切點處的值為切線的斜率求出切線方程；解決函數(shù)單調(diào)性已知求參數(shù)范圍問題，常令導函數(shù)大于等于0（小于等于0）恒成立，求出參數(shù)的范圍．