Question

3．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-x；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）要求x＜0時(shí)的函數(shù)解析式，先設(shè)x＜0，則-x＞0，-x就滿足函數(shù)解析式f（x）=x²-x，用-x代替x，可得，x＜0時(shí)，f（-x）的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出此時(shí)的f（x）即可．
（2）分類討論，即可求不等式f（x）＜0的解集．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-x，∴f（-x）=x²+x，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-x²-x，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²-x，
綜上所述，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≥0}\\{-{x}^{2}-x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-x＜0，∴0＜x＜1；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²-x＜0，∴x＜-1或x＞0，∴x＜-1，
綜上所述，不等式f（x）＜0的解集為{x|x＜-1或0＜x＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是先求x＜0時(shí)f（-x）的表達(dá)式，再根據(jù)奇偶性求f（x）．