Question

已知函數(shù)f(x)=4cosx•sin(x+

π

6

)+a的最大值為2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)=4cosx•sin(x+

π

6

)+a，然后利用二倍角公式，升角降次，再用兩角和的正弦函數(shù)化為：2sin(2x+

π

6

)+1+a．通過(guò)最值直接求a的值，利用周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）借助正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，選擇適當(dāng)?shù)膋值，求f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f(x)=4cosx•sin(x+

π

6

)+a=4cosx•(

3

2

sinx+

1

2

cosx)+a
=2

3

sinxcosx+2cos2x-1+1+a=

3

sin2x+cos2x+1+a
=2sin(2x+

π

6

)+1+a．（4分）
∴當(dāng)sin(2x+

π

6

)=1時(shí)，f（x）取得最大值2+1+a=3+a，
又f（x）的最大值為2，∴3+a=2，即a=-1．（5分）
f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．（6分）
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x+

π

6

)（7分）
∴-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．（8分）
得∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ．（10分）
∵x∈[0，π]∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

6

]和[

2π

3

，π]（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查利用三角函數(shù)的有關(guān)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)表達(dá)式，求三角函數(shù)的最值、周期，單調(diào)增區(qū)間等知識(shí)，正確應(yīng)用公式化簡(jiǎn)，是解好這類(lèi)問(wèn)題的前提．