Question

函數(shù)f（x）=x³-3tx+m（x∈R，m和t為常數(shù)）是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值和函數(shù)f（x）的圖象與橫軸的交點坐標；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）；
（3）求F（t）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出m的值，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，令f（x）=0即可求出x的值，從而求出與x軸的交點坐標．
（2）g（x）=|x³-3xt|（x∈[0，1]）是偶函數(shù)，所以只要求出g（x）=|x³-3xt|（x∈[0，1]）的最大值即可．
（3）F（t）在（-∞，）上為減函數(shù)，，所以t=時，F(xiàn)（t）取得最小值．
解答：解：（1）由于f（x）為奇函數(shù)，易得m=0…（1分）
設(shè)f（x）=x³-3tx=x（x²-3t）=0
①當3t＜0時，上述方程只有一個實數(shù)根x=0，所以f（x）與x軸的交點坐標為（0，0）
②當3t=0時，上述方程有三個相等實數(shù)根x=0，所以f（x）與x軸的交點坐標為（0，0）
③當3t＞0時，上述方程的解為x₁=0，x_2，3=±，所以f（x）與橫軸的交點坐標分別為：（0，0），（，0）…（4分）（少一種情況扣1分）
（2）顯然g（x）=|x³-3xt|（x∈[0，1]）是偶函數(shù)，
所以只要求出g（x）=|x³-3xt|（x∈[0，1]）的最大值即可．又f'（x）=3（x²-t）
①t≤0時，則在[0，1]上f（x）為增函數(shù)，∴f（x）≥f（0）=0∴f（x）=g（x），故F（t）=f（1）=1-3t…（6分）
②t＞0時，則在[0，1]上f'（x）=3（x+）
（i）≥1即t≥1時，則在[0，1]上f（x）為減函數(shù)∴f（x）≤f（0）=0，
故F（t）=-f（1）=3t-1…（8分）
（ii）0＜t＜1時，則在[0，1]上f'（x）=3（x+）

x		（0，）		（，1）	1
f'（x）		-		+
f（x）		↓	極小值-2t	↑	1-3t

所以可以畫出g（x）的草圖如下，并且由圖可知：

（1）當
（2）當1＞2時，g（x）的最大值F（t）=f（1）=1-3t…（10分）
綜上所述：F（t）=…（12分）
（3）顯然F（t）在（-∞，）上為減函數(shù)，∴F（t）的最小值=F（．
點評：本題主要考查了三次函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性等有關(guān)知識，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．