Question

4．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，E為D₁C₁的中點(diǎn)，連結(jié)ED，EC，EB和DB．
（Ⅰ）求證：平面EDB⊥平面EBC；
（理科生做）（Ⅱ）求二面角E-DB-C的正切值；
（文科生做）（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面DBE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由BC⊥平面D₁DCC₁⇒BC⊥DE．再利用△DD₁E為等腰直角三角形⇒∠D₁ED=45°以及∠C₁EC=45°可得DE⊥EC，合在一起可得平面EDB⊥平面EBC；
（理科生做）（Ⅱ）先過E在平面D₁DCC₁中作EO⊥DC于O⇒EO⊥面ABCD；再O在平面DBC中作OF⊥DB于F，利用三垂線定理極其逆定理可得EF⊥BD．所以∠EFO為二面角E-DB-C的平面角．再利用平面幾何知識求出∠EFO的正切值即可；
（文科生做）（Ⅱ）由V_E-DBA=V_A-DBE，利用等體積法來求A到面EDB的距離即可．

解答 （Ⅰ）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB=2，BB₁=BC=1，E為D₁C₁的中點(diǎn)．
∴△DD₁E為等腰直角三角形，∠D₁ED=45°．
同理∠C₁EC=45°．
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC．
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥平面D₁DCC₁，
又DE?平面D₁DCC₁，
∴BC⊥DE．又EC∩BC=C，∴DE⊥平面EBC．
∵DE?平面DEB，∵平面DEB⊥平面EBC．
（理科生做）（Ⅱ）解：如圖，過E在平面D₁DCC₁中作EO⊥DC于O．
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵面ABCD⊥面D₁DCC₁，∴EO⊥面ABCD．
過O在平面DBC中作OF⊥DB于F，連接EF，
∴EF⊥BD，∠EFO為二面角E-DB-C的平面角．
利用平面幾何知識可得OF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，OE=1，tan∠EFO=$\sqrt{5}$．
∴二面角E-DB-C的正切值為$\sqrt{5}$．
（文科生做）（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)A到平面DBE的距離為d，
∵V_E-DBA=V_A-DBE，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$d
∴d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故A到面EDB的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和點(diǎn)到面的距離計(jì)算．在求點(diǎn)到面的距離時(shí)，如果直接法不好求的話，一般轉(zhuǎn)化為棱錐的高利用等體積法來求．