Question

1．以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點(diǎn)的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（2，3）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，P為橢圓C上的點(diǎn)，且與M、N不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，設(shè)直線MP、NP的斜率分別為k₁，k₂，試問：k₁，k₂的乘積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=2，即a²-b²=4，將A（2，3）代入橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意可設(shè)M（m，n），N（-m，-n），P（s，t），代入橢圓方程，作差，再由直線的斜率公式計(jì)算即可得到所求定值．

解答 解：（1）由題意可得c=2，即a²-b²=4，
將A（2，3）代入橢圓方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{^{2}}$=1，
解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）由題意可設(shè)M（m，n），N（-m，-n），P（s，t），
可得$\frac{{m}^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{12}$=1，$\frac{{s}^{2}}{16}$+$\frac{{t}^{2}}{12}$=1，
相減可得$\frac{（m-s）（m+s）}{16}$=-$\frac{（n-t）（n+t）}{12}$，
則k₁•k₂=$\frac{n-t}{m-s}$•$\frac{n+t}{m+s}$=-$\frac{12}{16}$=-$\frac{3}{4}$．
即有k₁，k₂的乘積為定值-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足方程，考查直線的斜率之積為定值問題，注意運(yùn)用點(diǎn)差法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．