Question

6．已知函數(shù)f（x）=lg$\frac{2x}{ax+b}$，f（1）=0，且f（2）-f（$\frac{1}{2}$）=lg2．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若x∈（0，+∞）時方程f（x）=lgt有解，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）-lg（8x+m）的無零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)，以構造一個關于a，b方程組，解方程組求出a，b值，進而得到f（x）的表達式；
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的表達式，轉化為一個方程，分離參數(shù)，根據(jù)f（x）的定義域即可求出；
（3）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可將方程f（x）=lg（8x+m），轉化為一個關于x的分式方程組，進而根據(jù)方程f（x）=lg（8x+m）的解集為∅，則方程組至少一個方程無解，或兩個方程的解集的交集為空集，分類討論后，即可得到答案．

解答 解：（1）∵且f（2）-f（$\frac{1}{2}$）=lg2，即x＞0時，f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx．
lg $\frac{2x}{ax+b}$-lg $\frac{\frac{2}{x}}{\frac{a}{x}+b}$=lgx，
即lg-lg=lgx，
即lg（ $\frac{2x}{ax+b}$•$\frac{a+bx}{2}$）=lgx，$\frac{2x}{ax+b}$•$\frac{a+bx}{2}$=x．
整理得（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b，
又f（1）=0，
即a+b=2，從而a=b=1．
∴f（x）=lg $\frac{2x}{x+1}$，
∵$\frac{2x}{x+1}$＞0，
∴x＜-1，或x＞0，
∴f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（0，+∞）
（2）方程f（x）=lgt有解，
即lg $\frac{2x}{x+1}$=lgt，
∴t=$\frac{2x}{x=1}$，
∴x（2-t）=t，
∴x=$\frac{t}{2-t}$，
∴$\frac{t}{2-t}$＜-1，或 $\frac{t}{2-t}$＞0，
解得t＞2，或0＜t＜2，
∴實數(shù)t的取值范圍（0，2）∪（2，+∞），
（3）函數(shù)y=f（x）-lg（8x+m）的無零點即方程f（x）=lg（8x+m）的解集為∅，
∴l(xiāng)g $\frac{2x}{x+1}$=lg（8x+m），
∴$\frac{2x}{x+1}$=8x+m，
∴8x²+（6+m）x+m=0，
方程的解集為∅，故有兩種情況：
①方程8x²+（6+m）x+m=0無解，即△＜0，得2＜m＜18，
②方程8x²+（6+m）x+m=0有解，兩根均在[-1，0]內(nèi)，g（x）=8x²+（6+m）x+m，
則 $\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{g（-1）≥0}\\{g（0）≥0}\\{-1≤\frac{-6-m}{16}≤0}\end{array}\right.$，解得：0≤m≤2，
綜合①②得實數(shù)m的取值范圍是0≤m＜18．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的綜合應用，屬于中檔題．