Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在的平面．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC．
（2）設(shè)PA=$\sqrt{3}$，試問C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AC與平面PBC所成的角為$\frac{π}{3}$？（只需求出符合條件時(shí)AC的長）

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，知BC⊥AC，由PA⊥BC，知BC⊥平面PAC，由此能夠證明平面PAC⊥平面PBC．
（2）過A作AH⊥PC于H，證明AH⊥平面PBC，可得∠ACH為AC與平面PBC所成的角，利用AC與平面PBC所成的角為$\frac{π}{3}$，可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又∵PA⊥BC，
∴PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PCB，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）解：過A作AH⊥PC于H，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ACH為AC與平面PBC所成的角，
Rt△PAC中，tan∠ACH=$\frac{PA}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=1．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．