Question

已知在區(qū)間上是增函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值組成的集合；

（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為、．試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意及 恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）實(shí)數(shù)a的值組成的集合；

（2）存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意及 恒成立．

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將條件在區(qū)間上為增函數(shù)這一條件轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到，從而解出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到與，然后利用

將用參數(shù)進(jìn)行表示，進(jìn)而得到不等式對(duì)任意

及恒成立，等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，將不等式

轉(zhuǎn)化為以為自變量的一次函數(shù)不等式恒成立，只需考慮相應(yīng)的端點(diǎn)值即可，從而解出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031905003644236548/SYS201403190502582392962967_DA.files/image022.png">在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以，在區(qū)間上恒成立，

，

所以，實(shí)數(shù)的值組成的集合；

（2）由 得，即，

因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031905003644236548/SYS201403190502582392962967_DA.files/image026.png">，即的兩個(gè)非零實(shí)根為、，

、是方程兩個(gè)非零實(shí)根，于是，，

，

，，

設(shè)，，

則，

若對(duì)任意及恒成立，

則，解得或，

因此，存在實(shí)數(shù)或，使得不等式對(duì)任意及恒成立.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.二次函數(shù)的零點(diǎn)分布；3.韋達(dá)定理；4.主次元交換