Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是等邊三角形，平面平面，，為棱上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.

（1）若為棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：平面平面；

（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，點(diǎn)位于的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)面面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，根據(jù)題中條件，先求出的長(zhǎng)，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，，，設(shè)，分別表示出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量夾角余弦值，求出，即可得出結(jié)果.

（1）證明：因?yàn)?/span>、分別是、的中點(diǎn)，

所以，

在矩形中，，

所以，

又因?yàn)?/span>、分別是、的中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?/span>，，

平面，平面，

所以平面平面.

（2）解：假設(shè)棱上存在點(diǎn)滿足題意.

在等邊三角形中，為的中點(diǎn)，

于是，

又平面平面，

平面平面，

平面，

所以平面，

所以是四棱錐的高，

設(shè)，則，，

所以，

所以，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，

設(shè)，

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，有

，

令，則，

易知平面的一個(gè)法向量，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以存在點(diǎn)，位于的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).