Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=

3

，P是AB的中點，該矩形有一內(nèi)接Rt△PQR，P為直角頂點，Q、R分別落在線段BC和線段AD上，記Rt△PQR的面積為S． 
（Ⅰ）設∠BPQ為α，求S=f（α）及f（α）的最大值；
（Ⅱ）設BQ=x，求S=g（x）及g（x）的最小值．

Answer 1

考點：已知三角函數(shù)模型的應用問題

專題：計算題,應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）由題意表示出S=

1

2

PR•PQ=

1

2

•

1

cosα

•

1

sinα

=

1

sin2α

，從而求f（α）的最大值；
（Ⅱ）設BQ=x，BP=1，PQ=

1+x2

，S=g(x)=

1

2

1+x2

•

1+ 1 x2

=

1

2

x2+ 1 x2 +2

，利用換元法求函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖知，在Rt△PBQ中，PQ=

1

cosα

；
在Rt△PAR中，RP=

1

sinα

．
∵∠RPQ為直角，
∴S=

1

2

PR•PQ=

1

2

•

1

cosα

•

1

sinα

=

1

sin2α

． 
又∵R，Q分別在線段AD、BC上，
∴

π

6

≤α≤

π

3

，∴

π

3

≤2α≤

2π

3

，
∴sin2α∈[

3

2

，1]，
∴當2α=

π

3

或

2π

3

時，(sin2α)min=

3

2

，
∴Smax=

2 3

3

．
∴S=f(α)=

1

sin2α

(

π

6

≤α≤

π

3

)，
S=f（α）的最大值為

2

3

3

．
（Ⅱ）∵BQ=x，BP=1，
∴PQ=

1+x2

，
又∵△PBQ∽△RAP，
∴

BQ

BP

=

AP

AR

，
∴AR=

1

x

，
∴PR=

1+ 1 x2

，
∴S=g(x)=

1

2

1+x2

•

1+ 1 x2

=

1

2

x2+ 1 x2 +2

．
又∵R，Q分別在線段AD、BC上，
∴

3

3

≤x≤

3

，
∴S=g（x）=

1

2

x2+ 1 x2 +2

（

3

3

≤x≤

3

）．
令t=x2，則

1

3

≤t≤3，S=

1

2

t+ 1 t +2

(

1

3

≤t≤3)，
函數(shù)y=t+

1

t

在[

1

3

，1]單調(diào)遞減，在[1，3]單調(diào)遞增．證明如下，
設

1

3

≤t1＜t2≤3，
y1-y2=(t1+

1

t1

)-(t2+

1

t2

)=(t1-t2)

(t1t2-1)

t1t2

，
若

1

3

≤t1＜t2≤1，t1-t2＜0，t1t2-1＜0，t1t2＞0，
∴y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂，
∴y=t+

1

t

在[

1

3

，1]上單調(diào)遞減；
若1≤t₁＜t₂≤3，t₁-t₂＜0，t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0，
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂，
∴y=t+

1

t

在[1，3]上單調(diào)遞增．
∴當t=1時，y達到最小值2．
∴g(x)min=

1

2

2+2

=1．

點評：本題考查了函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)單調(diào)性的判斷與應用，同時考查了函數(shù)的最值，屬于中檔題．