如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A,B及CD的中點P處.AB=20km,BC=10km.為了處理這三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A,B等距的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設(shè)管道的總長度為ykm.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(i)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(ii)設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短.
【答案】分析:(1)(i)根據(jù)題意知PQ垂直平分AB,在直角三角形中由三角函數(shù)的關(guān)系可推得OP,從而得出y的函數(shù)關(guān)系式,注意最后要化為最簡形式,確定自變量范圍.(ii)已知OP,可得出OQ的表達式,由勾股定理推出OA,易得y的函數(shù)關(guān)系式.
(2)欲確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短也就是最小值問題,(1)中已求出函數(shù)關(guān)系式,故可以利用導(dǎo)數(shù)求解最值,注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合.
解答:解:(Ⅰ)①由條件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad),
,故,又OP=10-10tanθ,
所以,
所求函數(shù)關(guān)系式為
②若OP=x(km),則OQ=10-x,所以O(shè)A=OB=
所求函數(shù)關(guān)系式為

(Ⅱ)選擇函數(shù)模型①,
令y′=0得sin,因為,所以θ=,
當(dāng)時,y′<0,y是θ的減函數(shù);當(dāng)時,y′>0,y是θ的增函數(shù),所以當(dāng)θ=時,.這時點P位于線段AB的中垂線上,在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB邊km處.
點評:本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用.
①生活中的優(yōu)化問題,往往涉及到函數(shù)的最值,求最值可利用單調(diào)性,也可直接利用導(dǎo)數(shù)求最值,要掌握求最值的方法和技巧.
②在求實際問題中的最大值或最小值時,一般先設(shè)自變量、因變量,建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域,利用求函數(shù)最值的方法求解,注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合.用導(dǎo)數(shù)求解實際問題中的最大(。┲禃r,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點,那么根據(jù)實際意義該極值點也就是最值點.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A,B及CD的中點P處.AB=20km,BC=10km.為了處理這三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A,B等距的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設(shè)管道的總長度為ykm.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(Ⅰ)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江省哈爾濱九中高三(上)第二次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A,B及CD的中點P處.AB=20km,BC=10km.為了處理這三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A,B等距的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設(shè)管道的總長度為ykm.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(i)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(ii)設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年山東省濱州市濱城一中高三(上)質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A,B及CD的中點P處.AB=20km,BC=10km.為了處理這三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A,B等距的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設(shè)管道的總長度為ykm.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(i)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(ii)設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江省哈爾濱九中高三(上)第二次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A,B及CD的中點P處.AB=20km,BC=10km.為了處理這三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A,B等距的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設(shè)管道的總長度為ykm.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(i)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(ii)設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案