Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+1

(n∈N*)．
（1）求通項a_n；
（2）令b_n=

2n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由遞推式變形可得數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，分別取n=1，2，…，n后累加即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=

2n

an

，利用錯位相加法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由a_n+1=

an

an+1

(n∈N*)，得

1

an+1

=

an+1

an

=

1

an

+1，
所以

1

an+1

-

1

an

=1．
所以

1

a1

=1

1

a2

-

1

a1

=1

1

a3

-

1

a2

=1
…

1

an

-

1

an-1

=1．
累加得

1

an

=n．
∴an=

1

n

(n∈N*)； 
（2）由b_n=

2n

an

，
∴Tn=1×21+2×22+…+n×2n
2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1．
兩式相減得：-T_n=2+（2²+2³+…+2ⁿ）-n×2ⁿ⁺¹
=

2×(1-2n)

1-2

-n×2n+1
=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2∴Tn=(n-1)×2n+1+2

點評：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．