Question

已知函數(shù)f（x）滿足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=

1

2

．
（1）當x∈N₊時，求f（n）的表達式；
（2）設an=nf(n)

&(n∈N+

，求證：a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）設bn=

nf(n+1)

f(n)

&(n∈N+)，Sn=b1

+b2+…+bn，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設得：f(n+1)=f(n)•f(1)=

1

2

f(n)．則由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列{f（n）}是以 f(1)=

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）設T_n=a₁+a₂+…+a_n其通項公式是 an=n•f(n)=n•(

1

2

)n是一個等差數(shù)列和等比數(shù)列對應項積的形式，則由錯位相減法求得前n項和，再用放縮法證明不等式．
（3）由bn=

nf(n+1)

f(n)

=

n•( 1 2 )n+1

( 1 2 )n

=

1

2

n，能求出S_n．

解答：解：（1）由題設得：f(n+1)=f(n)•f(1)=

1

2

f(n)．
∴數(shù)列{f（n）}是以 f(1)=

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
f(n)=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．（4分）

（2）設T_n=a₁+a₂+…+a_n
∵an=n•f(n)=n•(

1

2

)n（n∈N^*）．
∴Tn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n×(

1

2

)n

1

2

Tn
=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3++(n-1)×(

1

2

)n+n×(

1

2

)n+1
兩式相減得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+1=1-

n+2

2n+1

．
∴Tn=2-

n+2

2n

＜2．（10分）
（3）∵bn=

nf(n+1)

f(n)

=

n•( 1 2 )n+1

( 1 2 )n

=

1

2

n，
∴Sn=

1

2

(1+2+3+…+n)
=

1

2

×

n

2

(n+1)
=

n(n+1)

4

．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)求解析式，進而轉(zhuǎn)化為數(shù)列研究數(shù)列的通項及用錯位相減法求前n項和．