Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₂作傾斜角為

π

3

的直線交橢圓D于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁到直線AB的距離為3，△ABF₁的周長為8．
（1）求橢圓D的方程；
（2）已知點(diǎn)M（-1，0），設(shè)E是橢圓D上的一點(diǎn)，過E、M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)C，若

CE

=2

EM

，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得AB的方程為：y=

3

(x-c)，由F₁到直線AB的距離為3，得c=

3

，由△ABF₁的周長為4a，得4a=8，由此能求出橢圓D的方程．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），C（0，m），由

CE

=2

EM

，得x1=-

2

3

，y1=

m

3

，由E是橢圓D上的一點(diǎn)，得m=±2

2

，由此能求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答： （本題滿分13分）
解：（1）設(shè)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0
由題意得AB的方程為：y=

3

(x-c)
∵F₁到直線AB的距離為3，
∴

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解得c=

3

…（2分）
∴a²-b²=c²=3…①
又△ABF₁的周長為4a，
∴4a=8，…②
聯(lián)立①②解得：a=2，b=1
所求橢圓D的方程為

x2

4

+y2=1．…（6分）
（2）由（1）知橢圓D的方程為

x2

4

+y2=1
設(shè)E（x₁，y₁），C（0，m），由于

CE

=2

EM

，
∴（x₁，y₁-m）=2（-1-x₁，-y₁），
∴x1=-

2

3

，y1=

m

3

…（9分）
又E是橢圓D上的一點(diǎn)，則

(- 2 3 )2

4

+(

m

3

)2=1
∴m²=8，解得m=±2

2

于是點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2

2

)或(0，-2

2

)…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．