Question

（2011•通州區(qū)一模）如圖．四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD．PA=AD=1，AB=

2

．M，N分別為AB、PC的中點．
（I）求證：MN∥平面PAD；
（II）求證：MN⊥平面PCD；
（III） 求平面DMN與平面DPA所成銳二面角的度數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明線面平行，需要設(shè)法在平面PAD內(nèi)找到與MN平行的直線，因為給出的M，N分別是DC和PB的中點，所以可取CD的中點，通過證明兩個平面平行得到線面平行；
（Ⅱ）證明MN⊥平面PCD，可利用線面垂直的判定定理，容易證明MN與CD垂直，再通過解三角形得到PM=MC，從而證得MN垂直于PC，直接由線面垂直的判定定理得到結(jié)論；
（Ⅲ）以A為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系，利用平面法向量所稱的角求解二面角的平面角．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
取CD的中點E，連結(jié)ME，連結(jié)AC，ME∩AC=F，所以F為AC的中點，連結(jié)NF，
∵M、E分別為AB、CD的中點，∴ME∥AD，AD?面PAD，
∴ME∥面PAD，F(xiàn)、N分別為AC、PC的中點，∴FN∥PA，PA?面PAD，∴FN∥面PAD．
又ME∩FN=F，∴面MEN∥面PAD．∴MN∥平面PAD； 
（Ⅱ）證明：∵PA⊥底面ABCD，F(xiàn)N∥PA，∴FN⊥底面ABCD，則FN⊥CD，又CD⊥ME，
∴CD⊥面MEN，∴CD⊥MN．
在Rt△PAM和Rt△MBC中，由勾股定理可得PM=MC，又N是PC的中點，∴MN⊥PC，
又PC∩CD=C．∴MN⊥平面PCD；
（Ⅲ）解：以A為坐標(biāo)原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則M(

2

2

，0，0)，D（0，1，0），N(

2

2

，

1

2

，

1

2

)．

DM

=(

2

2

，-1，0)，

MN

=(0，

1

2

，

1

2

)．
設(shè)平面DMN的一個法向量為

m

=(x，y，z)．
由

m • DM =0 m • MN =0

，得

2 2 x-y=0 1 2 y+ 1 2 z=0

，取z=-1，得y=1，x=

2

，
∴

m

=(

2

，1，-1)．
又平面DPA的一個法向量

n

=(1，0，0)．
∴平面DMN與平面DPA所成銳二面角的余弦值cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

2

( 2 )2+12+(-1)2

=

2

2

．
∴平面DMN與平面DPA所成銳二面角的度數(shù)為45°．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的平面角，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，解答的關(guān)鍵是分清二面角兩個面的法向量所成的角與二面角的大小之間的關(guān)系，是中檔題．