Question

2．如圖，點(diǎn)O為△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$的值為32

Answer 1

分析 以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建系，設(shè)出C的坐標(biāo)（x，y），由已知可得x²+y²=36，把$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BC}$用含有x的代數(shù)式表示，展開數(shù)量積得答案．

解答 解：如圖，以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建系，
則A（-2，0），B（2，0），設(shè)C（x，y），
∵O為為△ABC的重心，∴O（$\frac{x}{3}，\frac{y}{3}$），
$\overrightarrow{OA}=（-2-\frac{x}{3}，-\frac{y}{3}）$，$\overrightarrow{OB}=（2-\frac{x}{3}，-\frac{y}{3}）$，
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（-2-\frac{x}{3}）（2-\frac{x}{3}）+（\frac{y}{3}）^{2}=0$，
化簡得：x²+y²=36．
∵$\overrightarrow{AC}=（x+2，y），\overrightarrow{BC}=（x-2，y）$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=x²+y²-4=32．
故答案為：32．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．