Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）過曲線C的焦點(diǎn)，且與曲線C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）寫出曲線C及直線l直角坐標(biāo)方程；
（2）求|MN|．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，可得ρ²sin²θ+4ρsinθ-ρ²=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．由直線l的參數(shù)方程，消去參數(shù)t可得普通方程，把拋物線焦點(diǎn)（0，1）代入即可得出．
（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為：x²-4x-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ+4sinθ-ρ=0，
可得ρ²sin²θ+4ρsinθ-ρ²=0，可得直角坐標(biāo)方程：y²+4y-（x²+y²）=0，即x²=4y．
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)t可得普通方程：y-3=（x-2）tanα．
由題意可知：直線經(jīng)過點(diǎn)（0，1），∴-2=-2tanα，可得tanα=1．
∴直線l的方程為：y-3=x-2，化為y=x+1．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，化為：x²-4x-4=0，
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[{4}^{2}-4×（-4）]}$=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法、參數(shù)方程及其應(yīng)用、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．