Question

在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，公比q∈（0，1），a₃+a₅=5且a₃和a₅的等比中項(xiàng)是2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=

1

n

(log2a1+log2a2+…+log2an)，判斷數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n是否存在最大值，若存在，求出使S_n最大時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得a₃•a₅=4，a₃+a₅=5，可解得 a₃=4，a₅=1．進(jìn)而可求q，a₁，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；
（2）由（1）可得log₂a_n=5-n，進(jìn)而可得b_n，易判斷數(shù)列{b_n}的項(xiàng)的符號(hào)變化規(guī)律，由各項(xiàng)符號(hào)可得結(jié)論；

解答： 解：（1）依題意：a₃•a₅=4，
又a₃+a₅=5，且公比q∈（0，1），
解得 a₃=4，a₅=1．
∴q2=

a5

a3

=

1

4

 ， 即q=

1

2

，
∴a1=

a3

q2

=16，
∴an=a1•qn-1=16•(

1

2

)n-1=25-n．                         
（2）∵log₂a_n=5-n，
∴bn=

1

n

(4+3+…+(5-n))=

(4+5-n)n 2

n

=

9-n

2

，
∵當(dāng)n＜9時(shí)，b_n＞0，當(dāng)n=9時(shí)，b_n=0，當(dāng)n＞9時(shí)，b_n＜0，
∴S₁＜S₂＜…＜S₈=S₉＞S₁₀＞S₁₁＞…．
∴S_n有最大值，此時(shí)n=8或n=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)及數(shù)列求和，考查方程思想，考查學(xué)生解決問題的能力．