Question

【題目】點(diǎn)P在圓O：x2+y2=8上運(yùn)動(dòng)，PD⊥x軸，D為垂足，點(diǎn)M在線(xiàn)段PD上，滿(mǎn)足 ．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（1， ）作直線(xiàn)l與點(diǎn)M的軌跡相交于A、B兩點(diǎn)，使點(diǎn)Q為弦AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)M在線(xiàn)段PD上，滿(mǎn)足 ，

∴點(diǎn)M是線(xiàn)段PD的中點(diǎn)，

設(shè)M（x，y），則P（x，2y），

∵點(diǎn)P在圓O：x2+y2=8上運(yùn)動(dòng)，

則x2+（2y）2=8，

即 ，

故點(diǎn)M的軌跡方程為 ．

（2）解：

方法一：當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得弦AB的中點(diǎn)在x軸上，

不可能是點(diǎn)Q，這種情況不滿(mǎn)足題意．

設(shè)直線(xiàn)l的方程為 ，

由 ，

可得 ，

由韋達(dá)定理可得x1+x2=﹣ ，

由AB的中點(diǎn)為 ，可得﹣ =2，

解得 ，

即直線(xiàn)l的方程為y﹣ =﹣ （x﹣1），

則直線(xiàn)l的方程為x+2y﹣2=0．

方法二：當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得弦AB的中點(diǎn)在x軸上，

不可能是點(diǎn)Q，這種情況不滿(mǎn)足題意．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

A、B兩點(diǎn)在橢圓上，

滿(mǎn)足 ，

由（1）﹣（2）可得 ，

則 ，

由AB的中點(diǎn)為 ，可得x1+x2=2，y1+y2=1，代入上式 ，

即直線(xiàn)l的方程為y﹣ =﹣ （x﹣1），

∴直線(xiàn)l的方程為x+2y﹣2=0．

【解析】（1）判斷M線(xiàn)段PD的中點(diǎn)，設(shè)M（x，y），則P（x，2y），運(yùn)用代入法，即可得到所求軌跡方程；（2） 方法一、運(yùn)用直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，化簡(jiǎn)整理可得斜率k，由點(diǎn)斜式方程可得直線(xiàn)方程；
方法二、設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），A、B兩點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，運(yùn)用作差法和斜率公式，再由點(diǎn)斜式方程可得直線(xiàn)的方程．