Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與x軸、y軸的正半軸分別交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為

2 5

5

，該橢圓的離心率為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)P(0，

5

3

)的直線(xiàn)l與橢圓交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，有

PM

=2

PN

成立？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：解：（1）由題意可得直線(xiàn)AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得

|ab|

a2+b2

=

2 5

5

，又

c

a

=

3

2

．及a²=b²+c²聯(lián)立即可解得．
（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，可得M（0，-1），N（0，1），直接驗(yàn)證即可．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不在時(shí)，設(shè)y=kx+

5

3

，與橢圓的方程聯(lián)立，可得△＞0，及其根與系數(shù)的關(guān)系．再利用

PM

=2

PN

，即可解得k．

解答：解：（1）由題意可得直線(xiàn)AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
∵原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為

2 5

5

，∴

|ab|

a2+b2

=

2 5

5

，又

c

a

=

3

2

．
聯(lián)立

ab a2+b2 = 2 5 5 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得

a=2b=2 c= 3

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，M（0，-1），N（0，1），不滿(mǎn)足

PM

=2

PN

，舍去．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不在時(shí)，設(shè)y=kx+

5

3

，聯(lián)立

y=kx+ 5 3 x2 4 +y2=1

，化為（9+36k²）x²+120kx+64=0，
∵直線(xiàn)l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，化為k2＞

4

9

．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-40k

3+12k2

，x1x2=

64

9+36k2

．
若

PM

=2

PN

，則x₁=2x₂．聯(lián)立

x1+x2= -40k 3+12k2 x1x2= 64 9+36k2 x1=2x2

，解得k²=

9

14

＞

4

9

．
解得k=±

3 14

14

．
綜上可得：所求直線(xiàn)l的方程為y=±

3 14

14

x+

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．