Question

在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-

2

，0），（

2

，0），點(diǎn)G是△ABC的重心，y軸上一點(diǎn)M滿足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（Ⅰ）求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）不過點(diǎn)A的直線l與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)P，Q．若以PQ為直徑的圓過點(diǎn)A時，試判斷直線l是否過定點(diǎn)？若過，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，不過，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），推出△ABC的重心故G點(diǎn)坐標(biāo)為(

x

3

，

y

3

)，由|MC|=|MB|，求解△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+b與

x2

2

+

y2

6

=1的兩交點(diǎn)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立：

y=kx+b x2 2 + y2 6 =1

利用韋達(dá)定理，結(jié)合

AP

•

AQ

=0，然后求解b與k的關(guān)系．求出直線系方程，然后求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y）
因?yàn)镚為△ABC的重心故G點(diǎn)坐標(biāo)為(

x

3

，

y

3

)，∴M(0，

y

3

)…（2分）
由|MC|=|MB|得∴x2+(

2

3

y)2=2+(

y

3

)2，…（3分）
即

x2

2

+

y2

6

=1(y≠0)
∴△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程是

x2

2

+

y2

6

=1(y≠0)…（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+b與

x2

2

+

y2

6

=1的兩交點(diǎn)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立：

y=kx+b x2 2 + y2 6 =1

消去y得：（k²+3）x²+2kbx+b²-6=0…（7分）
∴△=4k²b²-4（k²+3）（b²-6）=12（2k²-b²+6）＞0，
且x1+x2=-

2kb

k2+3

，x1x2=

b2-6

k2+3

．…（8分）
若以PQ為直徑的圓過點(diǎn)A時，則有

AP

•

AQ

=0．…（9分）
∴(x1+

2

)(x2+

2

)+y1y2=0，既有(x1+

2

)(x2+

2

)+(kx1+b)(kx2+b)=0，
故(k2+1)x1x2+(kb+

2

)(x1+x2)+b2+2=0，
代入整理得：2b2-

2

kb-2k2=0…（11分）∴b=-

2

2

k或b=

2

k．…（12分）
（1）當(dāng)b=-

2

2

k．時，y=kx+b=k(x-

2

2

)直線過定點(diǎn)(

2

2

，0)，
且代入△＞0成立； …（13分）
（2）當(dāng)b=

2

k時，y=kx+b=k(x+

2

)，直線過點(diǎn)(-

2

，0)，不合題意，舍去．
綜上知：直線過定點(diǎn)(

2

2

，0)…14

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，軌跡方程的求法，直線系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．