Question

一個(gè)棱長為6cm的密封正方體盒子中放一個(gè)半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動(dòng)盒子，求小球在盒子不能到達(dá)的空間的體積．

Answer 1

分析：小球在盒子不能到達(dá)的空間要分以下幾種情況，在正方體頂點(diǎn)處的小正方體中，其體積等于小正方體體積減球的體積，在棱長處對應(yīng)的正方體中，其體積等于這些小正方體體積的和減以球的直徑為底面直徑，以正方體和的高為高的圓柱，其他空間小球均能到達(dá)，綜合后即可得到結(jié)果．

解答：解：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間為：8[13-

1

8

(

4π

3

×13)]=8-

4

3

π，
除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個(gè)1×1×4的正四棱柱空間內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間共為[1×1×4-

1

4

(π×12)×4]=48-12π．
其他空間小球均能到達(dá)．
故小球不能到達(dá)的空間體積為：(8-

4

3

π)+48-12π=56-

40

3

π(cm3)．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是球的體積，棱柱的體積，其中熟練掌握棱柱和不堪的幾何特征，建立良好的空間想象能力是解答本題的關(guān)鍵．