Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在區(qū)間[-4，4]上的偶函數(shù)，且x∈[0，4]時(shí)，f（x）=

1

x+1

+1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B在函數(shù)y=f（x）的圖象上，頂點(diǎn)C、D在x軸上，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇偶性轉(zhuǎn)換為x∈[0，4]時(shí)，f（x）=

1

x+1

+1求解．
（2）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可設(shè)A（-x，y），B（x，y），C（x，0），D（-x，0），0＜x≤4，列出函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用單調(diào)性求解．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）是定義在區(qū)間[-4，4]上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∵x∈[0，4]時(shí)，f（x）=

1

x+1

+1．
∴設(shè)x∈[-4，0]，則-x∈[0，4]，
f（x）=f（-x）

1

-x+1

+1=1-

1

x-1

，
∴f（x）=

1+ 1 x+1 ，x∈[0，4] 1- 1 x-1 ，x∈[-4.0]

，
（2）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可設(shè)A（-x，y），B（x，y），C（x，0），D（-x，0），0＜x≤4
∴S_矩形ABCD=2x（

1

x+1

+1）=

2x

x+1

+2x=2+2x-

2

x+1

，x∈（0.4]，
∵函數(shù)單調(diào)遞增，
∴S=2+2x-

2

x+1

，x∈（0.4]，當(dāng)x=4時(shí)最大值為2+8-

2

5

=

48

5

，
故矩形ABCD面積的最大值

48

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性的運(yùn)用，屬于中檔題．