Question

(本小題滿分12分)
設(shè)A₁、A₂是雙曲線的實(shí)軸兩個端點(diǎn)，P₁P₂是雙曲線的垂直于軸的弦，
（Ⅰ）直線A₁P₁與A₂P₂交點(diǎn)P的軌跡的方程；
（Ⅱ）過與軸的交點(diǎn)Q作直線與（1）中軌跡交于M、N兩點(diǎn)，連接FN、FM，其中F,求證：為定值；

Answer 1

（Ⅰ）（ ；（Ⅱ）見解析。

（Ⅰ）利用交軌法來求直線P₁A₁和P₂A₂的交點(diǎn)的軌跡方程，先根據(jù)已知條件求出A₁、A₂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），求出直線PA₁和NA₂的方程，聯(lián)立方程，方程組的解為直線PA₁和NA₂交點(diǎn)的坐標(biāo)，再把P點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀）用x，y表示，代入雙曲線方程，化簡即得軌跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)的方程為，，直線MN的方程與曲線C的方程聯(lián)立消y可得關(guān)于x的一元二次方程，解出M，N點(diǎn)橫坐標(biāo)之和與之積代入下式即可證明為定值．
（Ⅰ）設(shè),則的方程為   ①
的方程為  ② 將①×②，得
又在雙曲線上，，即，
代入上式 ，得（              ………5分
（Ⅱ）法一：設(shè)的方程為，
聯(lián)立，得 消，得
則
..12分