Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)n∈N⁺均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)，可得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），求出d，即可求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）再寫一式，兩式相減，求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可求數(shù)列的和．

解答：解：（1）由已知得：a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d…（2分）
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
∴3d²-6d=0
∵d＞0，∴d=2
∴a_n=2n-1，b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴bn=3n-1                 …（6分）
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1得，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an(n≥2)…（9分）
兩式相減得

cn

bn

=an+1-an=2，
∴cn=2bn=2×3n-1(n≥2)
n=1時(shí)，c₁=3
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹²=3²⁰¹³…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．