Question

已知橢圓C₁、拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄如下：A₁（3，-2

3

）、A₂（-2，0）、A₃（4，-4）、A₄（

2

，

2

2

）．
（Ⅰ）經(jīng)判斷點A₁，A₃在拋物線C₂上，試求出C₁、C₂的標準方程；
（Ⅱ）求拋物線C₂的焦點F的坐標并求出橢圓C₁的離心率；
（Ⅲ）過C₂的焦點F直線l與橢圓C₁交不同兩點M，N，且滿足

OM

⊥

ON

，試求出直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線C₂：y²=2px（p≠0），設(shè)C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），利用待定系數(shù)法能求出C₁、C₂的標準方程．
（Ⅱ）由C₁、C₂的標準方程，能求出拋物線焦點坐標和橢圓的離心率．
（III）設(shè)直線l的方程為x-1=my，兩交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x-1=my x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²+2my-3=0，由此利用韋達定理和向量知識能求了l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線C₂：y²=2px（p≠0），
則有

y2

x

=2p（x≠0），∵A₁（3，-2

3

）、A₃（4，-4）在拋物線上，…（2分）
將A₃坐標代入曲線方程，得C₂：y²=4x．…（3分）
設(shè)C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
由題設(shè)知A₂（-2，0）、A₄（

2

，

2

2

）在C₁上，
把點A₂（-2，0），A₄（

2

，

2

2

）代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，解得

a2=4 b2=1

，
∴C₁方程為

x2

4

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）∵C₂：y²=4x，∴p=2，
∴拋物線焦點坐標為F（1，0）；
由（Ⅰ）知，C₁：

x2

4

+y2=1，
∴a=2，c=

a2-b2

=

3

，
∴橢圓的離心率為e=

3

2

．…（8分）
（ III）直線l過拋物線焦點F（1，0），
設(shè)直線l的方程為x-1=my，兩交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x-1=my x2 4 +y2=1

，消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，…（10分）
∴y₁+y₂=

-2m

m2+4

，y₁y₂=

-3

m2+4

，①
x1x2=(1+my1)(1+my2)=1+m(y1+y2)+m2y1y2
=1+m•

-2m

m2+4

+m²•

-3

m2+4

=

4-4m2

m2=4

，②…（12分）
由

OM

⊥

ON

，即

OM

•

ON

=0，
得x₁x₂+y₁y₂=0，（*）
將①②代入（*）式，得

4-4m2

m2+4

+

-3

m2+4

=0，
解得m=±

1

2

，…（14分）
∴l(xiāng)的方程為：y=2x-2或y=-2x+2．…（15分）

點評：本題考查拋物線、橢圓、直線方程的求法，考查拋物線的焦點坐標和橢圓的離心率的求法，解題時要注意待定系數(shù)法的合理運用．