5.已知z•$\overline{z}$+(3+$\sqrt{3}$i)z+(3-$\sqrt{3}$i)$\overline{z}$+9=0,求|z-$\sqrt{3}$i|的最大值與最小值.

分析 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),代入z•$\overline{z}$+(3+$\sqrt{3}$i)z+(3-$\sqrt{3}$i)$\overline{z}$+9=0,得z的軌跡是以(-3,$\sqrt{3}$)為圓心,以$\sqrt{3}$為半徑的圓,畫出圖形,數(shù)形結(jié)合得答案.

解答 解:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),
由z•$\overline{z}$+(3+$\sqrt{3}$i)z+(3-$\sqrt{3}$i)$\overline{z}$+9=0,得
a2+b2+(3+$\sqrt{3}$i)(a+bi)+(3-$\sqrt{3}$i)(a-bi)+9=0,
即${a}^{2}+^{2}+6a-2\sqrt{3}b+9=0$,
∴$(a+3)^{2}+(b-\sqrt{3})^{2}=3$.
則z的軌跡是以(-3,$\sqrt{3}$)為圓心,以$\sqrt{3}$為半徑的圓.
如圖,
則|z-$\sqrt{3}$i|的最大值為3+$\sqrt{3}$,最小值為3-$\sqrt{3}$.

點評 本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.

練習冊系列答案
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