Question

已知函數(shù)y=Asin（ωt+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象如圖1所示，它刻畫了質(zhì)點(diǎn)P做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖2）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)水平直線l的位置值y（|y|是質(zhì)點(diǎn)與直線l的距離（米），質(zhì)點(diǎn)在直線l上方時(shí)，y為正，反之y為負(fù)）隨時(shí)間t（秒）的變化過(guò)程．則

（1）質(zhì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圓形軌道的半徑為

 

米；
（2）質(zhì)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一圈所需的時(shí)間T=

 

秒；
（3）函數(shù)f（t）的解析式為：

 

；
（4）圖2中，質(zhì)點(diǎn)P首次出現(xiàn)在直線l上的時(shí)刻t=

 

秒．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖1可得A=2，可得質(zhì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圓形軌道的半徑為2．
（2）質(zhì)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一圈所需的時(shí)間T，即函數(shù)y=Asin（ωt+φ）的周期．把點(diǎn)（0，-1）代入函數(shù)的解析式求得φ；再把點(diǎn)（

2

3

，2）代入函數(shù)的解析式求得ω，可得函數(shù)的周期．
（3）由（2）中的φ、ω的值，可得f（t）的解析式．
（4）令f（t）=2sin（πt-

π

6

）=0，求得πt-

π

6

=kπ，k∈z，求得t的最小正值，即為所求．

解答： 解：（1）由圖1可得A=2，故質(zhì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圓形軌道的半徑為2，故答案為：2．
（2）質(zhì)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一圈所需的時(shí)間T，即函數(shù)y=Asin（ωt+φ）的周期，
把點(diǎn)（0，-1）代入函數(shù)的解析式可得2sinφ=-1，可得sinφ=-

1

2

，再結(jié)合|φ|＜

π

2

，可得φ=-

π

6

．
再把點(diǎn)（

2

3

，2）代入函數(shù)的解析式可得 2sin（ω•

2

3

-

π

6

）=2，即sin（ω•

2

3

-

π

6

）=1，（ω•

2

3

-

π

6

）=

π

2

，求得ω=π，
故函數(shù)的周期為

2π

π

=2，
故答案為：2．
（3）由（2）可得f（t）=2sin(πt-

π

6

)，
故答案為：f（t）=2sin（πt-

π

6

）．
（4）令f（t）=2sin（πt-

π

6

）=0，求得πt-

π

6

=kπ，k∈z，可得t的最小正值為

1

6

，
故答案為：

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．