Question

在邊長為1的正三角形ABC中，設

BC

=

a

，

AB

=

c

，

AC

=

b

，則

a

•

b

+

b

•

c

+

c

•

a

的值是

 

Answer 1

分析：由于三角形ABC為邊長為1的正三角形，所以已知向量的模全為1，計算時要注意分清向量的夾角是

π

3

還是

2π

3

，由向量的數(shù)量積公式計算可得答案．

解答：解：∵

BC

=

a

，

AB

=

c

，

AC

=

b

∴|

a

|=|

b

|=|

c

|=1
且＜

a

，

b

＞=

π

3

，＜

b

，

c

π ＞=

π

3

，＜

a

，

c

＞=

2π

3

∴

a

•

b

=

1

2

，

b

•

c

=

1

2

，

c

•

a

=-

1

2

∴

a

•

b

+

b

•

c

+

c

•

a

=

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題考查的平面向量的數(shù)量積運算，由于已知的三個向量對應的有向線段是正三角形的三邊，故三個向量的模均為1，當表示兩個向量的有向線段同起點（或同終點）時，兩個向量的夾角等于三角形的內(nèi)角，當兩個向量首尾相接時，兩個向量的夾角等于三角形的外角．