Question

3．若函數(shù)f（x）=e${\;}^{-（x-m）^{2}}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的最大值為m，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）．

Answer 1

分析 令t=-（x-m）²，則原函數(shù)化為g（t）=e^t，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得原函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，m），減區(qū)間為（m，+∞），即x=m時函數(shù)取得最大值m，由此求得m=1，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間可求．

解答 解：令t=-（x-m）²，
則原函數(shù)化為g（t）=e^t，
內(nèi)函數(shù)t=-（x-m）²在（-∞，m）上為增函數(shù)，在（m，+∞）上為減函數(shù)，
又外函數(shù)g（t）=e^t為增函數(shù)，
∴原函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，m），減區(qū)間為（m，+∞），
∴當(dāng)x=m時函數(shù)有最大值m=e⁰=1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，注意對數(shù)函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．