Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的焦點(diǎn)為F₁（-4，0）、F₂（4，0），且經(jīng)過點(diǎn)P（3，1）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M在橢圓C上，且

OM

=

1

2

PF1

+λ

PF2

，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）（方法一）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用定義求出a，通過c，求出b，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（方法二）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用c=4得到a²=b²+16，化簡(jiǎn)橢圓方程，利用點(diǎn)P（3，1）在橢圓C上，即可求解b，然后求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）利用向量關(guān)系求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，通過點(diǎn)M在橢圓C上，列出20λ²+4λ-7=0，求解即可．

解答： 解：（1）（方法一）依題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）…（1分）
2a=|PF₁|+|PF₂|…（2分），
=

(3+4)2+12

+

(3-4)2+12

=6

2

，
∴a=3

2

…（4分）
c=4…（5分），
∴b²=a²-c²=2…（6分）
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

18

+

y2

2

=1…（7分）
（方法二）依題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）…（1分）
∵c=4…（2分），
∴a²=b²+c²=b²+16，

x2

b2+16

+

y2

b2

=1…（3分）
∵點(diǎn)P（3，1）在橢圓C上，∴

9

b2+16

+

1

b2

=1…（4分
）b⁴+6b²-16=0…（5分），解得b²=2或b²=-8（負(fù)值舍去）…（6分）
a²=b²+16=18，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

18

+

y2

2

=1…（7分）
（2）

OM

=

1

2

PF1

+λ

PF2

=

1

2

(-7，-1)+λ(1，-1)=(

2λ-7

2

，-

2λ+1

2

)…（9分）
點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(

2λ-7

2

，-

2λ+1

2

)…（10分）
∵點(diǎn)M在橢圓C上，∴

1

18

×(

2λ-7

2

)2+

1

2

(-

2λ+1

2

)2=1…（11分）
即20λ²+4λ-7=0…（12分），解得λ=

1

2

或λ=-

7

10

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．