Question

設(shè)有一組圓C_k：（x-k+1）²+（y-3k）²=2k⁴，下列五個(gè)命題：
①圓心在定直線上運(yùn)動(dòng)；
②存在一條定直線與所有的圓均相切；
③存在一條定直線與所有的圓均相交；
④存在一條定直線與所有的圓均不相交；
⑤所有的圓均不過原點(diǎn)；
其中正確的有

 

（填上所有正確的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)滿足條件的所有圓的圓心在一條直線上，所以這條直線與所有的圓都相交；根據(jù)圖象可知這些圓互相內(nèi)含，不存在一條定直線與所有的圓均相切，不存在一條定直線與所有的圓均不相交；利用反證法，假設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)，將（0，0）代入圓的方程，因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在k使上式成立，假設(shè)錯(cuò)誤，則圓不經(jīng)過原點(diǎn)．

解答： 解：根據(jù)題意得：圓心（k-1，3k），
圓心在直線y=3（x+1）上，故存在直線y=3（x+1）與所有圓都相交，選項(xiàng)①，③正確；
考慮兩圓的位置關(guān)系，
圓k：圓心（k-1，3k），半徑為

2

k2，
圓k+1：圓心（k-1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），
半徑為

2

（k+1）²，
兩圓的圓心距d=

(k-k+1)2+(3k-3k-3)2

=

10

，
兩圓的半徑之差R-r=（k+1）²-

2

k²=2

2

k+

2

，
任取k=1或2時(shí)，（R-r＞d），C_k含于C_k+1之中，選項(xiàng)②錯(cuò)誤；
若k取無窮大，則可以認(rèn)為所有直線都與圓相交，選項(xiàng)④錯(cuò)誤；
將（0，0）帶入圓的方程，則有（-k+1）²+9k²=2k⁴，即10k²-2k+1=2k⁴（k∈N^*），
因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在k使上式成立，即所有圓不過原點(diǎn)，選項(xiàng)⑤正確．
則真命題的代號(hào)是③⑤．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，是一道綜合題，要求學(xué)生會(huì)將直線的參數(shù)方程化為普通方程，會(huì)利用反證法進(jìn)行證明，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題．