Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-2x，設(shè)$g（x）=\frac{1}{x}•f（{x+1}）$．
（1）求函數(shù)g（x）的表達(dá)式，并求函數(shù)g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

分析 （1）求出f（x+1）=x²-1，即可求函數(shù)g（x）的表達(dá)式，并求函數(shù)g（x）的定義域；
（2）由（1）知，g（x）的定義域為{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，再利用奇函數(shù)的定義，判斷、證明函數(shù)g（x）的奇偶性．

解答 解：（1）由f（x）=x²-2x，得f（x+1）=x²-1，
所以，$g（x）=\frac{1}{x}•f（{x+1}）=\frac{{{x^2}-1}}{x}$，定義域為{x|x∈R，且x≠0}；
（2）結(jié)論：函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
證明：由（1）知，g（x）的定義域為{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，
并且，$g（{-x}）=\frac{{{{（{-x}）}^2}-1}}{-x}=-g（x）$，
所以，函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)奇偶性，屬于中檔題．