Question

一次考試共有8道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的．評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得零分”．某考生已確定有5道題的答案是正確的，其余題中：有一道題可以判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜．請求出該考生：
（Ⅰ）得40分的概率；
（Ⅱ）設(shè)所得分?jǐn)?shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余三道題中，可以判斷兩個選項是錯誤的概率為

1

2

，可以判斷一個選項是錯誤的概率為

1

3

，可以判斷一個選項是錯誤的概率為

1

4

，即可得出結(jié)論；
（2）依題意，該考生得分X的取值是25，30，35，40，求出得分X的取每個值的概率，列出分布列，從而求得所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余三道題中，可以判斷兩個選項是錯誤的概率為

1

2

，可以判斷一個選項是錯誤的概率為

1

3

，可以判斷一個選項是錯誤的概率為

1

4

，
所以，得40分的概率為P=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

；
（2）依題意，該考生得分X的取值是25，30，35，40，則
P（X=25）=

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，
P（X=30）=

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

3

×

1

2

×

3

4

+

1

4

×

1

2

×

2

3

=

11

24

，
P（X=35）=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

4

×

2

3

+

1

3

×

1

4

×

1

2

=

1

4

，
P（X=40）=

1

24

，
所以X的分布列為：

X	25	30	35	40
P	1 4	11 24	1 4	1 24

數(shù)學(xué)期望EX=25×

1

4

+30×

11

24

+35×

1

4

+40×

1

24

=

365

12

．

點評：本題考查獨立事件的概率，求離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，求出離散型隨機變量取各個值的概率，是解題的難點．