Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)p是單位圓上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過p作x軸的垂線與射線y=xtanθ（x≥0，0＜θ＜

π

2

）交于點(diǎn)Q，與x軸交于點(diǎn)M，射線與單位圓交于N，設(shè)∠MOP=α，且α∈（0，θ）
（1）若θ=

π

3

，sinα=

3

5

，求cos∠POQ；
（2）若θ=

π

4

，求四邊形OMPN面積的最大值，
（3）并求取最大值時(shí)的α值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意求出sinα和cosα的值，再根據(jù)cos∠POQ=cos（

π

3

-α）．利用兩角差的余弦公式計(jì)算求得結(jié)果．
（2）根據(jù)S_OMPN=S_△OMP+S_△OPN=

1

2

cosαsinα+

2

4

（sinα-cosα）．令sinα-cosα=t，根據(jù) S_OMPN=-

1

4

(t-

2

2

)2+

3

8

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得四邊形OMPN面積的最大值．
（3）由（2）可得t=

2

2

時(shí)，S_OMPN 有最大值

3

8

，此時(shí)，cos（α+

π

4

）=

1

2

，根據(jù)α+

π

4

的范圍，可得α的值．

解答： 解：（1）由題意，∠MOQ=

π

3

，∠POQ=∠MOQ-∠MOP=

π

3

-α，
∵sinα=

3

5

，α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

4

5

．
所以cos∠POQ=cos（

π

3

-α）=cos

π

3

cosα+sin

π

3

sinα=

4+3 3

10

．
（2）∵S_OMPN=S_△OMP+S_△OPN=

1

2

cosαsinα+

1

2

sin（

π

4

-α）
=

1

2

cosαsinα+

2

4

（cosα-sinα）．
令cosα-sinα=t，∵α∈（0，

π

4

），則t∈（0，1），
∴S_OMPN=

1

4

（1-t²）-

2

4

t=-

1

4

(t-

2

2

)2+

3

8

，
當(dāng)t=

2

2

時(shí)，S_OMPN 有最大值

3

8

．
（3）當(dāng)S_OMPN 有最大值時(shí)，cosα-sinα=

2

2

，有cos（α+

π

4

）=

1

2

，由于α+

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），
所以 α=

π

12

為所求．

點(diǎn)評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．