Question

在自然條件下，某草原上野兔第n年年初的數(shù)量記為xn,該年的增長量yn和 xn與的乘積成正比，比例系數(shù)為，其中m是與n無關(guān)的常數(shù)，且x1<m，

(1)證明：;

(2)用 xn表示xn+1;并證明草原上的野兔總數(shù)量恒小于m.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2），證明用數(shù)學(xué)歸納法，過程詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知可得yn是xn的一個二次函數(shù)，利用配方法，注意到就可證明；（2）由已知有該年的增長量，所以第n+1年年初的的數(shù)量xn+1=xn+yn,代入即可用 xn表示xn+1；證明草原上的野兔總數(shù)量恒小于m，即證對一切非零自然數(shù)n，都有xn<m,可考慮用數(shù)學(xué)歸納法來證明：當(dāng)n=1時顯然成立；再假設(shè)當(dāng)時，命題成立，則對n=k+1時，由于是xk的一個二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可證成立，從而有對一切正整數(shù)n，，即是草原上的野兔總數(shù)量恒小于m.

試題解析：（1）由題意知 ，配方得： ∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，即 （5分）

（2） （8分）

用數(shù)列歸納法證明：

當(dāng)n=1時，由題意知，故命題成立

假設(shè)當(dāng)時，命題成立

是xk的一個二次函數(shù)，有對稱軸，開口向下，由，則，于是在上均有=m

取，即知，∴當(dāng)時，命題成立，綜上知，對一切正整數(shù)n，這就是說該草原上的野兔數(shù)量不可能無限增長 （13分）

考點(diǎn)：1函數(shù)的概念；２．二次函數(shù)；３．?dāng)?shù)學(xué)歸納法．