Question

【題目】已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（﹣2，0），直線l：（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R）．
（1）求直線l所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若直線l與線段AB有公共點(diǎn)，求λ的取值范圍；
（3）若分別過(guò)A，B且斜率為 的兩條平行直線截直線l所得線段的長(zhǎng)為4 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），

則λ（x+y﹣4）+（3x﹣y）=0，

∵λ∈R，

∴ ，

解的 ，

∴直線l所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，3）

（2）解：∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（﹣2，0），定點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，3）；

∴kPA= =﹣3，kPB= =1，

∵直線l與線段AB有公共點(diǎn)，

當(dāng)λ=1時(shí)，直線x=1，與線段AB有公共點(diǎn)，

當(dāng)λ≠1時(shí)，直線l的斜率k= ，

∴ ≥1或 ≤﹣3，

解的﹣1≤λ＜1，或1＜λ≤3，

綜上所述：λ的取值范圍為[﹣1，3]

（3）解：分別過(guò)A，B且斜率為 的兩條平行直線，分別為y= x+2 ，y= x﹣2 ，

由（1）知，l恒過(guò)點(diǎn)（1，3），

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y﹣3=k（x﹣1），由圖象易知，直線l的傾斜角為30°，即k= ，

∴過(guò)點(diǎn)p的直線l為y﹣3= （x﹣1），即 x﹣3y+9﹣ =0．

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由（1）可知直線過(guò)定點(diǎn)（1，3），則直線方程為x=1，

令x=1，可知y1=3 ，y2=﹣ ，|y1﹣y2|=4 ，符合題意，

綜上所述：直線l的方程為x=1或 x﹣3y+9﹣ =0

【解析】（1）由題意，（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），由此可得方程組，從而可求定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求出A，B與定點(diǎn)的斜率，即可得到λ的取值范圍；（3）先求出過(guò)A，B且斜率為 的兩條平行直線，再分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一般式方程的相關(guān)知識(shí)，掌握直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）．