Question

19．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx），x∈R，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與三角恒等變換，求出函數(shù)f（x）的最大值；
（2）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解 （1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）
=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$
=sin²x+cos²x+sinxcosx+cos²x
=1+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$（sin2x+cos2x）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最大值是$\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；…（6分）
（2）∵f（x）=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{2}$，k∈Z，…（9分）
解得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z；
∴函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，$\frac{π}{8}$]和[$\frac{5π}{8}$，π]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換與平面向量的數(shù)量積應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．