Question

14．請(qǐng)按要求完成下列兩題
（Ⅰ）已知a、b、c都為正實(shí)數(shù)，x、y分別為a與b、b與c的等差中項(xiàng)，且$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}=2$，求證：a、b、c成等比數(shù)列．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n項(xiàng)和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差數(shù)列．
（1）計(jì)算S₁，S₂，S₃的值；
（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果猜測S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列的定義即可，
（Ⅱ）（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2S_n+1=S_n+1+2S₁，代值計(jì)算即可，
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，猜想：${S_n}=\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解（Ⅰ）由已知得$x=\frac{a+b}{2}$，$y=\frac{b+c}{2}$，
因?yàn)?\frac{a}{x}+\frac{c}{y}=2$，所以$\frac{a}{{\frac{a+b}{2}}}+\frac{c}{{\frac{b+c}{2}}}=2$，化簡得a（b+c）+c（a+b）=（a+b）（b+c），
則b²=ac，所以a、b、c成等比數(shù)列．
（Ⅱ）（1）S₁=a₁=1，由已知有2S₂=S₁+2S₁，
得${S_2}=\frac{3}{2}$，又2S₃=S₂+2S₁，得${S_3}=\frac{7}{4}$，
（2）由以上結(jié)果猜測：${S_n}=\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$，
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，${S_1}=\frac{{{2^1}-1}}{{{2^{1-1}}}}=1$，猜想成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，則有${S_k}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k-1}}}}$當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?nbsp;2S_k+1=S_k+2S₁
所以$2{S_{k+1}}=\frac{{{2^k}-1}}{{{2^{k-1}}}}+2=\frac{{{2^{k+1}}-1}}{{{2^{k-1}}}}$所以${S_{k+1}}=\frac{{{2^{k+1}}-1}}{{{2^{（k+1）-1}}}}$
所以n=k+1時(shí)猜想成立
所以對(duì)任意正整數(shù)n，猜想都成立，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，屬于中檔題．