Question

某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對角線的交點，G是PB的中點．

(Ⅰ)根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；

(Ⅱ)在直觀圖中，①證明：PD//面AGC；

②證明：面PBD⊥AGC

③求面PAB與面PBC的夾角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖所示．　　　　3分 　　(2)①證明：連結(jié)AC，BD交于點O，連結(jié)OG，因為G為PB的中點， 　　O為BD的中點，所以O(shè)G//PD又OG面AGC，PD面AGC， 　　所以PD//面AGC　　　　　　文8分，理6分 　�、谶B結(jié)PO，由三視圖，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO．又AO⊥BO， 　　所以AO⊥面PBD因為AO面AGC，所以面PBD⊥面AGC…文12分，理9分 　　(理)③建立如圖所示坐標(biāo)系，由三視圖知，PO＝，AB＝2，AC＝2，AO＝， 　　∴P(0，0，)，B(0，，0)，A(，0，0)， 　　C(－，0，0)， 　　 　　設(shè)面PBA的法向量為n＝(x，y，z) 　　∴ 　　令x＝1得y＝1，z＝1． 　　∴n＝(1，1，1) 　　設(shè)面PBC的法向量為) 　　∴ 　　令 　　∴m＝(1，－1，－1)． 　　設(shè)面PAB與PBC的夾角為θ， 　　則 　　所以面PAB與PBC的夾角為余弦值為　　　　　　理12分