函數(shù)y=f（x）滿足f（3+x）=f（1-x），且x1，x2∈（2，+∞）時，數(shù)學公式＞0成立，若f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2）對θ∈R恒成立．
（1）判斷y=f（x）的單調(diào)性和對稱性；
（2）求m的取值范圍．

解：（1）由f （3+x）=f （1-x），可得f （2+x）=f（2-x），
∴y=f （x）的對稱軸為x=2．…
當2＜x1＜x2時，f （x1）＜f （x2）； 當2＜x2＜x1時，f （x2）＜f （x1）．
∴y=f （x）在（2，+∝）上為增函數(shù)，在（-∞，2）上為減函數(shù)．…
（2）由f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2），可得|cos2θ+2m2|＜|sinθ+m2-3m-4|，
即m2-3m-4+sinθ＞cos2θ+2m2（i），或m2-3m-4+sinθ＜-cos2θ-2m2（ii）恒成立．…
由（i）得m2+3m+4＜-cos2θ+sinθ=（sinθ+）2-恒成立，∴m2+3m+4＜-，
故 4m2+12m+21＜0恒成立，m無解．…
由（ii） 得3m2-3m-4＜-cos2θ-sinθ=（sinθ-）2-恒成立，可得3m2-3m-4＜-，
即 12m2-12m-11＜0，解得 ＜m＜．…
分析：（1）由條件可得y=f （x）的對稱軸為x=2，當2＜x1＜x2時，f （x1）＜f （x2）； 當2＜x2＜x1時，f （x2）＜f （x1），由此可得結論．
（2）由f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2），可得|cos2θ+2m2|＜|sinθ+m2-3m-4|，即m2-3m-4+sinθ＞cos2θ+2m2（i），或m2-3m-4+sinθ＜-cos2θ-2m2（ii）恒成立．由（i）得求得m的范圍，由（ii）求得m的范圍，再把這2個m的范圍取并集，即得所求．
點評：本題主要函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎題．
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函數(shù)y=f（x）滿足f（3+x）=f（1-x），且x1，x2∈（2，+∞）時，
f(x1)-f(x2)x1-x2
＞0成立，若f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2）對θ∈R恒成立．
（1）判斷y=f（x）的單調(diào)性和對稱性；
（2）求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題
①若命題P和命題Q中只有一個是真命題，則?P或Q是假命題；
②α≠
π
6
或β≠
π
6
是cos(α+β)≠
1
2
成立的必要不充分條件；
③若定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=1-f（x），則f（x）是周期函數(shù)；
④若
lim
n→∞
[1+(
r
1+r
)n]=1，則r的取值范圍是r＞-
1
2
．
其中所有正確命題的序號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•眉山一模）已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）f（x-1）=1，且f（2）=3，則f（2010）=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•許昌縣一模）設函數(shù)y=f（x）的定義域為D，若函數(shù)y=f（x）滿足下列兩個條件，則稱y=f（x）在定義域D上是閉函數(shù)．①y=f（x）在D上是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域為[a，b]．如果函數(shù)f（x）=
2x+1
+k為閉函數(shù)，則k的取值范圍是（　�。�

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