(理)如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC＝60°．

(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大�。�

(Ⅱ)已知點D滿足，在直線AA上是否存在點P，使DP∥平面ABC？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于點O，

　　∴A1O⊥平面ABC．又∠ABC＝∠A1AC＝60°，且各棱長都相等，

　　∴AO＝1，OA1＝OB＝，BO⊥AC．………………2分

　　故以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz，則

　　A(0，－1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)，；

　　∴…………………4分

　　設(shè)平面AB1C的法向量為n＝(x，y，1)

　　則

　　解得n＝(－1，0，1)．………………6分

　　由cos＜

　　＝

　　而側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角，即是向量與平面AB1C的法向量所成銳角的余角，

　　∴側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小為……………6分

　　(Ⅱ)∵而

　　∴．………………8分

　　又∵B(，0，0)，∴點D的坐標為D(－，0，0)．

　　假設(shè)存在點P符合題意，則點P的坐標可設(shè)為P(0，y，z)．

　　∴

　　∵DP∥平面AB1C，n＝(－1，0，1)為平面AB1C的法向量，

　　∴由，得……………11分

　　又DP平面AB1C，

　　故存在點P，使DP∥平面AB1C，其從標為(0，0，)，即恰好為A1點．………12分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年湖北八校聯(lián)考理）（12分）如圖，已知正三棱柱各棱長都為，為棱上的動點。

（Ⅰ）試確定的值，使得；

（Ⅱ）若，求二面角的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點到面的距離。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（08年鄂爾多斯市一模理） 如圖，在各棱長都為2的正三棱柱ABC―A1B1C1中，的重心.

   （1）求證：DG//平面ABC；

   （2）求二面角B―AG―C的大�。�

   （3）求點B1到平面AGC的距離.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(理)如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC—A1B1C1中,側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°.

(1)求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的大小;

(2)已知點D滿足BD=BA+BC,在直線AA1上是否存在點P,使DP∥平面AB1C?若存在,請確定點P的位置;若不存在,請說明理由.

(文)如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC—A1B1C1中,點A1在底面ABC內(nèi)的射影O恰為線段AC的中點.

(1)求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值;

(2)已知點D為點B關(guān)于點O的對稱點,在直線AA1上是否存在點P,使DP∥平面AB1C?若存在,請確定點P的位置;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(理)如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC—A1B1C1中,側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°.

(1)求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的大小;

(2)已知點D滿足BD=BA+BC,在直線AA1上是否存在點P,使DP∥平面AB1C?若存在,請確定點P的位置;若不存在,請說明理由.(文)如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC—A1B1C1中,點A1在底面ABC內(nèi)的射影O恰為線段AC的中點.

(1)求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值;

(2)已知點D為點B關(guān)于點O的對稱點,在直線AA1上是否存在點P,使DP∥平面AB1C?若存在,請確定點P的位置;若不存在,請說明理由.

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