Question

(理)如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC,∠A₁AC=60°.

(1)求側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的大小;

(2)已知點(diǎn)D滿足BD=BA+BC,在直線AA₁上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB₁C?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.(文)如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,點(diǎn)A₁在底面ABC內(nèi)的射影O恰為線段AC的中點(diǎn).

(1)求側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值;

(2)已知點(diǎn)D為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn),在直線AA₁上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB₁C?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(理)解:(1)∵側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC,作A₁O⊥AC于點(diǎn)O,

∴A₁O⊥平面ABC.

又∠ABC=∠A₁AC=60°,且各棱長都相等,

∴AO=1,OA₁=OB=,BO⊥AC.2分

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz,則A(0,-1,0),B(,0,0),A₁(0,0,),C(0,1,0),=(0,1,).

由,可得B₁(,1,).

∴=(,2,),=(0,2,0).

設(shè)平面AB₁C的法向量為n=(x,y,1).

則

解得n=(-1,0,1).

由cos〈,n〉=,

而側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角,即是向量與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角,

∴側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的大小為arcsin.

(2)∵,而=(-,-1,0),=(-,1,0),

∴=(-2,0,0).

又∵B(,0,0),

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-,0,0).

假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意,則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0,y,z).

∴=(,y,z).

∵DP∥平面AB₁C,n=(-1,0,1)為平面AB₁C的法向量,

∴由·n=-+0+z=0,得z=.

又∵點(diǎn)P在直線AA₁上,=(0,y+1,),=(0,1,),

∴由=λ,得

∴y=0.

又DP平面AB₁C,

故存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB₁C,其坐標(biāo)為(0,0,3),即恰好為A₁點(diǎn).

(文)解:(1)連結(jié)A₁O,則A₁O⊥平面ABC.

∵三棱柱各棱長都相等,

∴AO=1,OA₁=OB=,BO⊥AC.

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz,則

A(0,-1,0),B(,0,0),A₁(0,0,),C(0,1,0),=(0,1,).

由=,可得B₁(,1,).

∴=(,2,),=(0,2,0).

設(shè)平面AB₁C的法向量為n=(x,y,1).

則

解得n=(-1,0,1).

∴cos〈,n〉=.

而側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角,即是向量與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角,

∴側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為.

(2)∵BO⊥AC,點(diǎn)D為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn),

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(,0,0).

假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意,則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0,y,z).

∴=(,y,z).

∵DP∥平面AB₁C,n=(-1,0,1)為平面AB₁C的法向量,

∴由·n=+0+z=0,得z=.

又∵點(diǎn)P在直線AA₁上,=(0,y+1,),=(0,1,),

∴由=λ,得

∴y=0.

又DP平面AB₁C,

故存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB₁C,其坐標(biāo)為(0,0,),即恰好為A₁點(diǎn)