Question

給出命題p：方程=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．
（1）若命題p是真命題，求a的取值范圍；
（2）如果命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）若命題p為真，則有
解之得0＜a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）；
（2）若命題q為真，則有
△=（2a-3）²-4＞0，解之得a或a
∵命題“p∨q”為真，“p∧q”為假
∴p、q中一個(gè)為真命題，另一個(gè)為假命題，
①當(dāng)p真q假時(shí)，，得≤a＜1；
②當(dāng)p假q真時(shí)，，得a≤0或a
所以a的取值范圍是（-∞，0]∪[，1）∪[，+∞）．
分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上橢圓的方程特征，建立關(guān)于a的不等式組，解之即可得到a的取值范圍；
（2）先求出當(dāng)命題q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，）∪（，+∞）．而命題“p∨q”為真且“p∧q”為假，
說明p、q中一個(gè)為真命題且另一個(gè)為假命題，由此分“p真q假”和“p假q真”兩種情況討論加以討論，分別建立關(guān)于a的不等式組，解不等式組后再取并集，即可得到a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的橢圓方程和二次函數(shù)，求命題為真時(shí)參數(shù)a的取值范圍，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．