Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=17，S₁₀=100．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

（I）設(shè)a_n首項為a₁，公差為d，
則

a1+d=17 10(2a1+9d) 2 =100

解得

a1=19 d=-2

（5分）∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n（7分）
（II）∵b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ=（-1）ⁿa_n+2ⁿ
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（a_n+2ⁿ）
=(-2)×

n

2

+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2（10分）
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（-a_n+2ⁿ）
=-a1+(a2-a3)+…+(an-1-an)+

2(1-2n)

1-2

=-19+2×

n-1

2

+2n+1-2=2ⁿ⁺¹+n-22（13分）
∴Tn=

2n+1-n-2(當(dāng)n為偶數(shù)) 2n+1+n-22(當(dāng)n為奇數(shù))

（14分）