Question

已知圓M：（x+2）²+y²=4，過點(diǎn)P（-1，0）作圓M的互相垂直的兩條弦AB，CD，則這兩條弦長之和的最大值為（　�。�

• A、2

  14

• B、8
• C、4+2

  3

• D、4

  6

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：向量與圓錐曲線

分析：先看當(dāng)其中一條弦的斜率不存在時(shí)的弦長之和．進(jìn)而設(shè)出其中一條直線AB的斜率，表示出AB，CD的直線方程，求得弦心距的表達(dá)式，進(jìn)而表示出|AB|+|CD|利用基本不等式的知識(shí)求得其最大值．

解答： 解：當(dāng)其中一條弦的斜率不存在時(shí)，弦長之和為4+2

3

，
設(shè)其中一條直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），弦心距d₁=

|-2k+k

k2+1

=

|k|

k2+1

，
同理，CD的弦心d₂=

1

k2+1

，因此

d

2 1

+

d

2 2

=1．
|AB|+|CD|=2（

4 -d 2 1

+

4 -d 2 2

）=4×

4 -d 2 1 + 4 -d 2 2

2

≤4×

4- d 2 1 +4- d 2 2

=2

14

，
當(dāng)且僅當(dāng)4-

d

2 1

=4-

d

2 2

，k=±1時(shí)，等號(hào)成立，
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)．注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．