Question

已知雙曲線實(shí)軸在軸，且實(shí)軸長為2，離心率,  L是過定點(diǎn)的直線.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）判斷L能否與雙曲線交于,兩點(diǎn)，且線段恰好以點(diǎn)為中點(diǎn)，若存在，求出直線L的方程，若不存，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）不存在過點(diǎn)P的直線L與雙曲線有兩交點(diǎn)A、B，且線段AB以點(diǎn)P為中點(diǎn)

【解析】

試題分析：（1）∵2a="2" ，∴a=1，又,∴c=，

∴，

∴標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）①：若過點(diǎn)P的直線斜率不存在，則L的方程為：，

此時(shí)L與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意.

②: 若過點(diǎn)P的直線斜率存在且設(shè)為,則L的方程可設(shè)為：，

設(shè),AB的中點(diǎn),

由得，  ①

顯然，要有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則.所以,

要以P為中點(diǎn)，則有，解得,

當(dāng)時(shí)，方程①為：,該方程無實(shí)數(shù)根，即L不會(huì)與雙曲線有交點(diǎn)，

所以，不存在過點(diǎn)P的直線L與雙曲線有兩交點(diǎn)A、B，且線段AB以點(diǎn)P為中點(diǎn).

考點(diǎn)：本小題主要雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的性質(zhì)和直線與雙曲線的位置關(guān)系.

點(diǎn)評：每年高考都會(huì)考查圓錐曲線問題，此類題目一般運(yùn)算量較大，主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力.